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Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es una expresión algebráica que se compone de dos partes. Usamos las expresiones algebraicas cada vez que expresamos un fórmula de cálculo. Aprenderemos a relacionar esta expresión con el área de un cuadrado que se puede descomponer en partes.

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Desarrollo del concepto
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos. El cuadrado del binomio es una fórmula para calcular el área de un cuadrado cuyo lado esta formado por dos términos (a y b).


Una fórmula que simplifica las cosas

LEl área de un cuadrado de lado a se expresa de la siguiente manera , pero en caso de tratarse de un rectángulo de lados a y b, el área se expresa a través del producto de la base por la altura, es decir:a.b

Ahora, si tenemos un cuadrado de lado a + b la fórmula para expresar su área no será otra que (a+b)² .

Si dividimos este cuadrado en cuatro partes como indica el dibujo, podemos calcular el área de cada una de las figuras y así sacar el área total. 

Para el cuadrado celeste a², para verde el área es b² y para los rectángulos a .b en un caso y b.a en el otro. De este modo el área total sería a²+ a.b + b.a + b². Ahora bien, gracias a la propiedad conmutativa de la multiplicación podemos reducir esta fórmula un poco más: a.b=b.a, entonces el cuadrado del binomio queda a² + 2ab + b² 
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Tips


  • Propiedad distributiva de la potenciación es imposible respecto a las sumas y restas


  • La propiedad distributiva es la que me permite desarrollar la expresión (a+b) ² como a ² + a.b + b.a + b²


  • La propiedad conmutativa de la multiplicación, dice que el orden de los valores no altera el producto, por eso a.b = b.a


  • Entonces, la expresión (a+b) ² = a ² + a.b + b.a + b ² = a ² + 2a.b + b ²


  • La expresión (a+b) ² es equivalente a decir (a+b). (a+b) ²
Curiosidades
El cuadrado de un binomio siempre tiene como resultado un trinomio, es decir una forma algebraica de tres términos: (a+b) ² = a² + 2ab + b²
El cuadrado de un binomio puede realizarse también sobre una resta. Por ejemplo (a – b) ², en este caso los términos del trinomio formado no llevarán siempre el mismo signo: (a – b) . (a – b) = a² - 2ab + b²
Así como existe el cuadrado del binomio, el matemático persa Muhammad al-Karaji, descubrió en el año 1000 una fórmula que permitía hacer la expansión de cualquier binomio no solo potenciado en 2 sino en cualquier número entero: (a + b)n 
Galería
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nurburgring

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